Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Principe du maximum de Pontryagin pour des problèmes de contrôle-échantillonné optimal définis sur time scale.

Le calcul time scale est un outil mathématique, introduit dans les années 90 par Stephan Hilger, permettant d'unifier l'analyse discrète et l'analyse continue. Par définition, un time scale est un sous-ensemble fermé de R (par exemple Z pour l'analyse discrète, R pour l'analyse continue). Ainsi, étudier un problème dynamique défini sur un time scale général permet d'étudier, d'un coup d'un seul, le problème discret et le problème continu. Le principe du maximum de Pontryagin (PMP en abrégé) est un résultat fondamental de la théorie du contrôle optimal. Cependant, son énoncé diffère suivant que l'on étudie une dynamique discrète ou une dynamique continue. Dans une première partie de l'exposé, nous proposerons un énoncé du PMP pour des problèmes de contrôle optimal définis sur un time scale général. Notre étude permettra de comprendre quels sont les enjeux de la structure du time scale qui conduisent à des énoncés différents du PMP. Notre résultat permettra bien entendu de retrouver les énoncés classiques des cas discret et continu. Dans une seconde partie de l'exposé, nous proposerons l'énoncé d'un PMP pour des problèmes de contrôle-échantillonné optimal. En effet, les contrôles-échantillonnés sont largement exploités par les automaticiens car, en pratique, il est impossible pour un être humain (ainsi que pour les machines) de contrôler un système dynamique continu en permanence (c'est-à-dire de proposer une modification du contrôle en tout temps réel). C'est pourquoi nous étudierons des problèmes de contrôle optimal où le contrôle est non-permanent, c'est-à-dire que la valeur du contrôle ne peut être modifiée que sur un sous-ensemble de R, à savoir un time scale ... Le travail qui sera présenté est un travail en collaboration avec Emmanuel Trélat de l'Université Pierre et Marie Curie à Paris.