Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Un modèle de Ginzburg-Landau couplant vortex ponctuels et lignes de discontinuités.

Nous présentons un modèle qui combine certaines caractéristiques des fonctionnelles de Ginzburg-Landau et de Mumford-Shah. Nous considérons un domaine $\Omega$ du plan et des applications $u$ de $\Omega$ à valeurs dans le plan complexe qui sont à variations bornées. Typiquement, $u$ admet des lignes de saut sur lesquelles elle a des traces $u_-$, $u_+$ distinctes. Ici, on n'autorise pas toutes les discontinuités en imposant $(u_+)^N=(u_-)^N$ où N est fixé. L'énergie que nous considérons est l'énergie de Ginzburg-Landau classique $\int |\nabla u|^2 + 1/\varepsilon^2 \int (1-|u|^2)^2$ à laquelle on ajoute la longueur de l'ensemble de saut. Dans le régime de faible énergie, nous montrons que l'énergie se concentre autour d'un nombre fini de vortex, chacun de degré 1/N. Ces vortex de degré fractionnaires sont connectés par des lignes de saut pour former des ensembles de degré entier. Dans le cas $N=2$, le modèle sert à décrire les ondulations des membrane bilipidiques dans certaines situtations. (travail en collaboration avec Michael Goldman et Vincent Millot)