Séance Séminaire

Séminaire de Probabilités et Statistique

Tests d'indépendance par permutation, étude asymptotique et non-asymptotique, avec application en neurosciences.

Considérant un échantillon de couples i.i.d. de processus ponctuels, observés sur une plage de temps donnée, on se pose la question de la détection de dépendance entre les processus marginaux sous-jacents. Cette question est motivée par l'étude des synchronisations de potentiels d'action en neurosciences (c.f. Grün et. al (2010)). Devant le débat actuel sur la modélisation de l'activité neuronale, notre but est de proposer des tests d'indépendance ne nécessitant aucune hypothèse de modèle sur la distribution des potentiels d'action. Nos travaux se situent dans la lignée de ceux de (Romano, 1989) et de (van der Vaart et Wellner, 1996) qui ont proposé des tests d'indépendance basés sur des méthodes de permutation (c.f. (Hoeffding,1952)). Cependant, ici, en raison des motivations biologiques et de la nature de nos variables (à savoir des processus ponctuels), nos statistiques de test sont plus complexes, et ne peuvent être vues comme des processus empiriques évalués sur des familles particulières d'événements. Il nous a donc fallu introduire de nouvelles statistiques de test (à savoir des U-statistiques renormalisées), et pousser plus loin les arguments de Romano afin de justifier l'approche par permutation. Après avoir présenté les motivations d'un point de vue biologique, nous présenterons un nouveau Théorème de la Limite Centrale Combinatoire (ne nécessitant pas l'hypothèse classique d'échangeabilité des données), permettant de justifier l'approche par permutation d'un point de vue asymptotique. Nous en déduirons que les tests correspondants sont de taille asymptotique voulue et consistants contre toute alternative raisonnable, et présenterons un étude par simulation les comparant à d'autres méthodes plus classiques en neurosciences. Ceci est un travail en collaboration avec Y. Bouret, M. Fromont et P. Reynaud-Bouret. Puis, nous étudierons les performances non-asymptotiques de ces tests en termes de vitesses de séparation. Dans un but d'adaptativité, nous construisons une procédure de tests agrégés, basée sur une méthode de seuillage par ondelettes dans un cadre de variables aléatoires à densité. Nous présenterons une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein pour des sommes permutées aléatoirement, obtenue à partir des inégalités fondamentales de Talagrand. Ce résultat nous permet alors de majorer la vitesse de séparation uniforme de notre procédure agrégée sur des classes particulières de fonctions, à savoir les espaces de Besov faibles, par rapport à la distance quadratique, et de déduire, au vue de la littérature, que cette procédure semble être optimale et adaptative d?un point de vue minimax.