Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Estimées du noyau de la chaleur sur les formes différentielles

Sur une variété complète, non-compacte, on considère l'équation de la chaleur $$\left(\frac{\partial}{\partial t}+L\right)u=0. (\star)$$ Dans le cas où $L = \Delta$
, le Laplacien scalaire, le comportement des solutions de $(\star)$ est bien compris : dans les années 80, Li et Yau ont montré que si la courbure de Ricci est positive, les solutions de $(\star)$ se comportent comme dans l'espace euclidien. Ces résultats ont par la suite été étendu par Grigory'an et Saloff-Coste, qui se sont affranchis de l'hypothèse de courbure en la remplaçant par certaines inégalités fonctionnelles (notamment isopérimétriques). Dans le cas où L est le Laplacien de Hodge sur les 1-formes différentielles, la situation est plus délicate. Si la courbure de Ricci est positive, alors les solutions de $(\star)$ se comportent comme dans l'espace euclidien. Cependant, caractériser un tel comportement en terme d'inégalités fonctionnelles (isopérimétriques) est probablement impossible. On présentera des résultats qui permettent de s'affranchir partiellement de l'hypothèse de positivité sur la courbure de Ricci. Collaboration avec T. Coulhon et A. Sikora.