Séance Séminaire

Colloquium de Mathématiques

Autour des partitions spectrales minimales

On s?intéresse à la meilleure façon de faire une partition d?un domaine en dimension 2 de façon à minimiser une énergie dépendant des valeurs propres sur chaque sous-domaine de la partition. Plus précisément, pour chaque $k$-partition (D_1,..., D_k) d?un domaine, on peut lui associer une énergie comme étant le maximum des premières valeurs propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet sur chaque des domaines $D_j$ : $$\sup\{ \lambda_1(D_j), 1\leq j\leq k\}.$$ Le problème d?optimisation consiste alors à déterminer une partition, si elle existe, qui minimise cette énergie. Dans le cas des 2-partitions, le problème est complètement résolu : l?énergie optimale est la deuxième valeur propre sur le domaine entier et les parties positives et négatives d'un second vecteur propre donne une partition minimale. Dès que $k\geq 3$, la situation est bien différente et pour des géométries telles que le carré ou le disque, on ne connaît pas la partition optimale. Néanmoins, nous pouvons donnons des estimations de l?énergie optimale ou proposer des candidats en utilisant des méthodes numériques. Par ailleurs, dans la fonctionnelle d?énergie, on peut remplacer la norme infinie (le maximum des valeurs propres) par une norme $p$, ce qui revient à considérer la somme des valeurs propres lorsque $p=1$. Dans ce cas, l?approche spectrale n?est plus valable. L?un des enjeux est également de comprendre l?influence de la norme sur les partitions optimales. Cet exposé résulte de collaborations avec B. Bogosel, B. Helffer, C. Léna, G. Vial.