Séance Séminaire

Séminaire de Recherche en Didactique et Epistémologie des Mathématiques

Spécificités des raisonnements et des outils de preuve en mathématiques discrètes

Les mathématiques discrètes sont à l'interface des mathématique et de l'informatique. Parce qu'elles concernent tout ce qui est dénombrable, elles mettent en ?uvre des raisonnements et des outils de preuves spécifiques ? dénombrement, exhaustivité des cas, récurrence, absurde, coloration, etc. Les modélisations discrètes se prêtent à des raisonnements algorithmiques. Le raisonnement par récurrence aboutit souvent à la construction algorithmique de solutions. La géométrie combinatoire a un point de vue particulier sur les objets géométriques usuels : un polygone ou une ligne polygonale seront considérés comme des ensembles de sommets et d'arêtes, sur lesquels on définit des notions de longueur, poids, aire discrète, adjacence, couleur, etc. ; un polyèdre sera mis en bijection avec un graphe planaire dont les propriétés arithmético-géométriques donnent des outils de preuve efficaces. D'un point de vue didactique, les mathématiques discrètes offrent la possibilité de construire des problèmes aux énoncés faciles à comprendre et qui, même si leur résolution est complexe, permettent aux élèves d'expérimenter, résoudre des cas particuliers, de raisonner, faire des conjectures et les étudier. Ce domaine des mathématiques présente donc une vraie opportunité pour construire des situations de recherche pour les classes, dont les élèves de tous niveaux peuvent s'emparer, pour l'apprentissage du raisonnement mathématique sous toutes ses formes. Nous montrerons, sur des exemples, la force de certaines modélisations discrètes et des raisonnements et outils associés.