Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Difféomorphismes du plan hyperbolique qui préservent l'aire et surfaces convexes dans l?espace Anti-de Sitter de dimension (2+1).

Si S est une surface convexe dans l'espace Anti-de Sitter de dimension (2+1), on peut lui associer un difféomorphisme du plan hyperbolique qui préserve l'aire. Des example sont les surfaces plissées, qui sont associées aux tremblements de terre, et les applications minimales Lagrangiennes, qui correspondent aux surfaces à courbure moyenne nulle. Dans ce séminaire, nous allons voir une construction inverse, qui retrouve le plongement d'une surface convexe à partir d'un difféomorphisme qui préserve l'aire. Une application de cette construction est la preuve de l'existence des surfaces à courbure Gaussienne constante dans l'espace Anti-de Sitter, avec bord à l'infini prescrit. Les difféomorphismes correspondants sont appelés glissement et peuvent être décrits seulement en termes de la géométrie hyperbolique. Par conséquent, nous allons obtenir un corollaire sur l'existence et unicité du glissement quasi-conforme du plan hyperbolique qui s'étend en tout homéomorphisme quasi-symétrique du cercle.