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Une description explicite des logarithmes comprimés de tous les associateurs de Drinfeld

Initialement les associateurs de Drinfeld apparaissent dans la théorie des quasi-algèbres de Hopf. Il se trouve qu'un associateur de Drinfeld est un outil clef dans le calcul de l'intégrale de Kontsevich des noeuds.
L'intégrale de Kontsevich est un invariant fort des nœuds : d'après la contruction il contient tous les invariants de type fini de Vassiliev, donc les invariants polynomiaux bien connus des noeuds (les polynômes de Jones et HOMFLY). Le, Murakami et Bar-Natan ont introduit une méthode pour calculer l'intégrale de Kontsevich à partir d'une décomposition d'enchevêtrement d'un noeud. Cette méthode utilise un associateur de Drinfeld, c'est-à-dire une série infinie deux variables non-commutatives. Autrement dit si l'on connaissait tous les coefficients d'au moins un associateur, alors on pourrait calculer l'intégrale entière de Kontsevich pour tout noeud. Par définition, un associateur de Drinfeld est une solution d'équations algébriques très compliquées (hexagone et pentagone). Toute solution de ces équations détermine un invariant des noeuds, qui coïncide génériquement avec l'intégrale de Kontsevich. Drinfeld a démontré l'existence d'un associateur avec des coefficients rationnels. Cependant, sa procédure n'est pas constructive et ne donne pas une formule explicite. Bar-Natan a proposé un programme pour calculer un des associateurs de Drinfeld jusqu'au degré 7. Malheureusement, son programme est assez compliqué, le degré 7 est son résultat maximal. Par ailleurs Le et Murakami ont exprimé un des associateurs de Drinfeld par les valeurs de la fonction zeta multiple, c'est-à-dire par des nombres transcendants. Nous proposons une autre méthode pour calculer les associateurs de Drinfeld. Formellement, le logarithme d'un associateur de Drinfeld habite dans l'algèbre de Lie $L$ engendre par les symboles $a,b,c$ sujets aux relations $[a,b]=[b,c]=[c,a]$. Nous projetons ce logarithme sur le quotient $L/[[L,L],[L,L]]$. Alors on obtient une série comprimée en deux variables commutatives, qui doit se soumettre aux équations hexagone et pentagone comprimés. Cette simplification permet de résoudre complètement les hexagone et pentagone comprimés. Notre résultat principal est une description explicite des logarithmes comprimés de tous les associateurs de Drinfeld. L'ingrédient clef de nos démonstrations est une forme explicite de la formule de Campbell-Baker-Hausdorff dans le cas où tous les commutateurs commutent l'un avec l'autre. Il se trouve qu'un logarithme comprimé n'est pas unique : il depend de paramètres libres, qui sont en nombre infini. La série de Bar-Natan jusqu'au degré 7 et la série de Drinfeld (un logarithme comprimé qui est exprimé par les valeurs de la fonction zeta classique) entrent dans la famille trouvée des solutions. Grâce à la présence des paramètres libres la série de Drinfeld ne mène pas à des relations polynomiales entre les valeurs impaires de la fonction zeta. Cependant, les coefficients extrêmes du logarithme exact (pas seulement le logarithme comprimé ) sont exprimés rigidement par les nombres de Bernoulli. Finalement nous introduisons les invariants comprimés deVassiliev et l'intégrale comprimée de Kontsevich par les associateurs comprimés trouvés.