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L'homologie des espaces de lacets libres comme une théorie de champ conforme

Les théories de champs de cordes topologiques ouvertes et fermées "String topology" forment un des nouveaux sujets de la topologie algébrique. Il s'agit d'étudier l'homologie des espaces de chemins dans une variété différentielle compacte orientée. Cette théorie fait apparaître des invariants pour les variétés : - en dimension 2 : travaux de Moira Chas reliant la string topology a la structure de Bialgèbre de Lie de William Goldman et Vladimir Turaev des classes d'homotopie libres des courbes sur une surface, - en dimension 3 : travaux de Hossein Abbaspour connectant ces théories de cordes avec l'hyperbolicité, - il existe une conjecture de Ralph Cohen et Yakov Eliashberg qui établit une équivalence entre les invariants de la théorie des cordes topologiques d'une variété et les invariants de Gromov-Witten du fibré cotangent de cette meme variété. Dennis Sullivan a ouvert la voie de ces théories en découvrant de nouvelles structures algébriques sur l'homologie de ces espaces de cordes. Les cordes fermées (espaces de lacets libres) sont au coeur de ces nouvelles théories. Il existe 3 modèles qui décrivent cette structure algébrique: - un modèle qui fait appel a des spectres en anneaux (Ralph Cohen-John Jones, Bill Dwyer, John Klein, Jack Morava), - un modèle qui utilise l'homologie et la cohomologie de Hochschild (Ralph Cohen-John Jones), - enfin un modèle en homologie singulière utilisant une approche géometrique de l'homologie singulière (D. C.), ce dernier modèle formalise les idées de Moira Chas et Dennis Sullivan qui sont à l'origine de la string topology et il fait le lien avec les travaux de Ralph Cohen et John Jones. C'est ce dernier modèle en homologie géométrique que je décrirai dans l'expose. J'expliquerai aussi comment un sous-espace des graphes en rubans agit sur l'homologie des lacets libres. Les graphes en rubans permettent de coder des surfaces de Riemann, ils paramètrent en théorie des cordes fermées topologiques des opérations homologiques. Cette approche qui fait intervenir les espaces de modules de courbes unifie toutes les structures algébriques de l'homologie des espaces de lacets libres connues jusqu'alors (Chas-Sullivan, Cohen-Godin, Cohen-Jones, Voronov).