Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Analyse asymptotique d'équations aux dérivées partielles issues de processus biologiques de diffusion anormale

Je m'intéresse à des équations aux dérivées partielles structurées faisant intervenir des noyaux à queue lourde dans leurs termes de bord en la variable structurelle. Il s'agit de modèles de déplacement sous-diffusif issus de la biologie cellulaire, motivés par de nombreuses observations récentes de protéines cytoplasmiques dont le déplacement aléatoire dévie de la diffusion fickienne normale. Les résultats que j'exposerai ont été obtenus en collaboration avec H. Berry, V. Calvez, P. Gabriel et T. Lepoutre au cours de ma thèse. En premier lieu, je présenterai la décroissance auto-similaire de la solution d'une équation de renouvellement à queue lourde vers un état stationnaire. Les idées mises en jeu sont inspirées de méthodes d'entropie relative. Nos principaux apports sont la preuve d'un taux de décroissance en norme L^1 vers la loi de l'arc-sinus et l'introduction d'une fonction pivot spécifique dans une méthode d'entropie relative. Une seconde partie de ma présentation portera sur la limite hyperbolique d'une équation de renouvellement structurée en âge et à sauts en espace. Nous y prouvons que les solutions des problèmes rééchelonnés à \e > 0 convergent lorsque \e \to 0 vers la solution de viscosité de l'équation de Hamilton-Jacobi limite des problèmes à \e > 0. Les outils mis en jeu proviennent de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi. Ce travail présente trois idées intéressantes. La première est celle de prouver le résultat de convergence sur la condition de bord du problème plutôt que d'utiliser des fonctions test perturbées. La deuxième consiste en l'introduction de termes correcteurs logarithmiques en temps dans des estimations a priori ne découlant pas directement du principe du maximum. Cela est dû à la non-existence d'un équilibre du problème homogène en espace. La troisième est une estimation précise de la décroissance de l'influence de la condition initiale sur le terme de renouvellement.