Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Régression linéaire bayésienne sur données fonctionnelles

Composition du jury
M. Christophe ABRAHAM, SupAgro - INRA, Directeur de these
Mme Meïli BARAGATTI, SupAgro - INRA,Co-encadrant de these
M. Pierre DRUILHET, Université Blaise Pascal, Rapporteur
M. André MAS, Université de Montpellier, Examinateur
M. Eric PARENT, AgroParisTech, Examinateur
Mme Anne PHILIPPE, Université de Nantes, Examinateur
M. Pierre PUDLO, Aix-Marseille Université, CoDirecteur de these
Mme Judith ROUSSEAU, Université Paris Dauphine, Rapporteur

Résumé :
Un outil fondamental en statistique est le modèle de régression linéaire. Lorsqu'une des covariables est une fonction, on fait face à un problème de statistique en grande dimension. Pour conduire l'inférence dans cette situation, le modèle doit être parcimonieux, par exemple en projetant la covariable fonctionnelle dans des espaces de plus petites dimensions. Dans cette thèse, nous proposons une approche bayésienne nommée Bliss pour ajuster le modèle de régression linéaire fonctionnel. Notre modèle, plus précisément la distribution a priori, suppose que la fonction coefficient est une fonction en escalier. A partir de la distribution a posteriori, nous définissons plusieurs estimateurs bayésiens, à choisir suivant le contexte : un estimateur du support et deux estimateurs, un lisse et un estimateur constant par morceaux. A titre d'exemple, nous considérons un problème de prédiction de la production de truffes noires du Périgord en fonction d'une covariable fonctionnelle représentant l'évolution des précipitations au cours du temps. En terme d'impact sur les productions, la méthode Bliss dégage alors deux périodes de temps importantes pour le développement de la truffe. Un autre atout du paradigme bayésien est de pouvoir inclure de l'information dans la loi a priori, par exemple l'expertise des trufficulteurs et des biologistes sur le développement de la truffe. Dans ce but, nous proposons deux variantes de la méthode Bliss pour prendre en compte ces avis. La première variante récolte de manière indirecte l'avis des experts en leur proposant de construire des données fictives. La loi a priori correspond alors à la distribution a posteriori sachant ces pseudo-données. En outre, un système de poids relativise l'impact de chaque expert ainsi que leurs corrélations. La seconde variante récolte explicitement l'avis des experts sur les périodes de temps les plus influentes sur la production et si cet l'impact est positif ou négatif. La construction de la loi a priori repose alors sur une pénalisation des fonctions coefficients en contradiction avec ces avis. Enfin, ces travaux de thèse s'attachent à l'analyse et la compréhension du comportement de la méthode Bliss. La validité de l'approche est justifiée par une étude asymptotique de la distribution a posteriori. Nous avons construit un jeu d'hypothèses spécifique au modèle Bliss, pour écrire une démonstration efficace d'un théorème de Wald. Une des difficultés est la mauvaise spécification du modèle Bliss, dans le sens où la vraie fonction coefficient n'est sûrement pas une fonction en escalier. Nous montrons que la loi a posteriori se concentre autour d'une fonction coefficient en escalier, obtenue par projection au sens de la divergence de Kullback-Leibler de la vraie fonction coefficient sur un ensemble de fonctions en escalier. Nous caractérisons cette fonction en escalier à partir du design et de la vraie fonction coefficient.