Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Trou de croissance dans les groupes hyperboliques et moyennabilité

(collaboration avec Françoise Dal'Bo and Andrea Sambusetti) Si G est un groupe de type fini muni d'une action propre et co-compacte sur un espace métrique X, le taux de croissance exponentielle of G relativement à X mesure la "taille" des des orbites de G. Étant donné un sous-groupe H de G, son taux de croissance exponentielle est majoré par celui de G. Dans ce travail nous nous sommes penchés sur la question suivante : que se passe-t-il lorsque H et G ont le même taux de croissance exponentielle ? Ce problème à une histoire à la fois combinatoire et géométrique. Du point de vue combinatoire, Grigorchuck et Cohen on montré dans les années 80 qu'un groupe Q = F/N (vu comme le quotient d'un groupe libre) est moyennable si et seulement si N et F ont le même taux de croissance exponentielle (relativement à la métrique des mots de F). A la même époque Brooks a donné une interprétation géométrique du critère de moyennabilité de Kesten en utilisant le bas du spectre de l'opérateur de Laplace. Il obtient de cette manière un analogue du résultat de Grigorchuck et Cohen pour le groupe des automorphismes du revêtement de certaines variétés hyperboliques compactes. Ces travaux sont à l'origine des nombreux développements en géométrie, dynamique et théorie de groupes. Dans cet exposé on se concentrera sur les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Nous proposons un cadre d'étude qui recouvre à la fois les points de vue combinatoire et géométrique. Plus précisément on montrera le résultat suivant. Soit G un groupe hyperbolique muni d'une action propre et co-compacte sur un espace X qui est soit son graphe de Cayley, soit un espace CAT(-1). Les taux de croissance de H et G coïncident si et seulement H est co-moyennable dans G. Par ailleurs si G satisfait la propriété (T) de Kazhdan on verra qu'il existe un "trou" entre le taux de croissance de G et celui de ses sous-groupes d'indice infini.