Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Compacité dans une classe conforme et pincement intégral de la courbure

Sur une variété $M$ compacte, considérons une suite de métriques sur $M$ qui vérifie une condition de courbure donnée, par exemple Ricci positif, courbure sectionnelle bornée... Peut-on extraire une sous-suite de métriques qui converge ? Si oui, que peut-on dire de l'espace limite ? Il s'agit d'un problème fréquent dès que l'on cherche à trouver une "bonne métrique" sur $M$. Par exemple pour montrer l'existence d'une métrique d'Einstein, ou dans la démonstration du Théorème de Géométrisation par Perelman... Nous considérerons une suite de métriques dans une classe conforme fixée. Si l'on suppose que le tenseur de courbure est borné en norme $L^p$ pour $p>n/2$, M. Gursky a montré que l'on peut extraire une sous-suite qui converge en topologie $C^\alpha$ vers une métrique riemannienne limite. Nous présenterons le cas critique d'une suite de métriques (dans une classe conforme) dont la courbure scalaire est pincée en norme $L^{n/2}$. Des singularités peuvent apparaître, la convergence d'une sous-suite vers une variété riemannienne limite ne peut être assuré. Nous montrons que malgré cela, on peut extraire une sous-suite qui converge au sens de Gromov-Hausdorff, en temps que suite d'espaces métriques mesurés, et que l'espace limite vérifie beaucoup de bonnes propriétés (mesure doublante, inégalité isopérimétrique, inégalité de Sobolev...). Notre montrerons en fait que la mesure de volume reste, tout au long de la suite de métriques, un \emph{poids fortement $A_\infty$}, notion qui vient de l'analyse harmonique et qui a de nombreuses conséquences géométriques.