Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Entropie des sous-décalages mélangeants

Les sous-décalages sont des coloriages d'une grille Z^d soumis à des contraintes locales. L'entropie d'un sous-décalage est le taux de croissance du nombre de coloriages admissible dans la boule de diamètre n, et est une notion naturelle pour diverses communautés : théorie de l'information, combinatoire, systèmes dynamiques, physique statistique. Quand le nombre de contraintes est fini (cas de "type fini") en dimension 1, une méthode algébrique classique résout le problème complètement. Le cas général (dimension >1) s'est révélé beaucoup plus difficile et l'entropie de certains exemples simples reste à déterminer. En 2007, il a été montré que l'entropi est incalculable en général ; cependant, des travaux récents montrent que des hypothèses de mélange fort suffisent à rendre le problème tractable. Où se situe la limite entre les cas calculables et incalculables ? Après un exposé historique de l'état de l'art, j'introduirai une notion de taux de mélange qui fait "sauter" l'entropie de calculable à incalculable à un certain seuil. Nous déterminons la position de ce seuil pour une famille un peu plus générale (nombre de contraintes infinies), et conjecturons un résultat similaire pour le cas de type fini.