Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Rang des tissus ordinaires de codimension un, et genre des courbes algébriques ordinaires

Jean-Paul Dufour et Daniel Lehmann Localement, un d-tissu est la superposition de d feuilletages deux à deux transverses. En particulier, à toute courbe algébrique \Gamma de degré d dans l'espace projectif complexe P_n , on associe classiquement un d -tissu linéaire de codimension un (les feuilles sont des hyperplans) dans l'espace projectif dual. Si les d points d'intersection de \Gamma avec un hyperplan générique sont en « position générale », on dit que la courbe est « ordinaire », et son genre arithmétique est alors borné par un certain entier \pi?(n,d) qui, pour n >= 3, est strictement plus petit que la borne  \pi(n,d) de Castelnuovo. Plus généralement, le « rang » d'un d-tissu (non necéssairement linéaire) de codimension un (c-a-d. La dimension de l'espace de ses « relations abéliennes »), qui est majoré par \pi(n,d) d'après Chern, l'est en fait par \pi?(n,d) si le tissu est « ordinaire » Nous donnons un procédé de calcul effectif du rang d'un d-tissu ordinaire de codimension un, sans avoir à en exhiber les relations abéliennes, en termes de courbure de certaines connexions tautologiques (genéralisation de la courbure de Blaschke du cas n = 2, d = 3).  [Pour n = 2, tous les tissus sont ordinaires, et \pi(2,d) = \pi?(2,d) = 1/2(d-1)(d-2).]