Séance Séminaire

Séminaire de Recherche en Didactique et Epistémologie des Mathématiques

La question de l'infini dans l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques, de l'informatique et de la philosophie

Jeudi 22 novembre 2018 9h45 - 11H15 Bat 12 ? salle SC 12.01 La question de l?infini Hourya Benis-Sinaceur, Directrice de recherche émérite, Institut d'Histoire et Philosophie des Sciences et des Techniques (IHPST) - UMR 8590, Université Paris1 Panthéon-Sorbonne - CNRS ? ENS Résumé - Induite par une vision cosmologique et religieuse la notion d?infinité numérique faisait partie du patrimoine des mathématiques indiennes. Les penseurs de la Grèce classique y ont vu un problème. Ils ont posé la question de l?existence de l?infini et ont introduit, pour répondre à cette question, des distinctions qui ont façonné durablement l?esprit de leurs héritiers : infini potentiel/infini actuel, infini qualitatif/infini quantitatif, quantité discrète/quantité continue. Ces distinctions compliquèrent plutôt qu?elles ne simplifièrent la conception de l?infini : couplé avec le continu, l?infini donna lieu à des paradoxes qui furent discutés au long des siècles. Ce fut un labyrinthe où la pensée se fraya un chemin grâce à des avancées à la fois techniques et conceptuelles. Mon propos est de jeter un regard épistémologique sur certaines de ces avancées et leurs difficultés Jeudi 22 novembre 2018 - 14H15 à 15H45 Bat 10 - SC 10.01 L'infini en informatique : lutter contre ou jouer avec ? Gérard Berry, Professeur au Collège de France Résumé - L'informatique a débuté avec Alan Turing, dont l'article fondateur de 1936 s'attaque directement à la question du fini et de l'infini dans le calcul. Cette question est bien sûr au centre du grand théorème d'indécidabilité de l'arrêt de sa machine, mais elle va bien plus loin, à travers son étude des nombres réels calculables qui forment un sous-corps dénombrable des nombres réels, l'égalité entre nombres réels calculables n'étant elle-même pas calculable. Pourtant, si la question de la calculabilité est profonde, son infini ne l'est pas vraiment : d'abord, la bande de la machine de Turing n'a pas besoin d'être infinie, car elle est peut rester finie à tout instant en étant simplement finiment augmentable en cas de besoin ; ensuite, la non-terminaison exprime seulement que la machine ne termine jamais, sans vraiment analyser ses comportements infinis. Mais l'exposé montrera que la notion de calcul essentiellement infini est à l'inverse pertinente dans d'autres domaines, comme la programmation réactive, qui traite de l'interaction permanente du calcul informatique avec le monde physique, l'étude des systèmes parallèles et de leur notion d'équité dans le calcul, ou la très belle théorie de Jean Vuillemin qui montre que le recours aux nombres 2-adiques fournit la bonne formalisation du calcul des circuits électroniques digitaux et permet des inventions algorithmiques étonnantes. Jeudi 22 novembre 2018 - 16H à 17H ? Bat 10 - SC 10.01 Table Ronde : Quelle formation pour les enseignants afin de les sensibiliser à la question de l?infini dans l?enseignement et l?apprentissage des mathématiques, de l?informatique et de la philosophie. Pascale Boulais, Lycée Arago (Perpignan) ? Simon Modeste, université de Montpellier ? Françoise Monnoyeur, Centre Jean Pépin, CNRS. Vendredi 23 novembre 2018- 9H30 à 11H00-Bat 12-salle SC 12.01 Fini et infini, entre mathématique et informatique. Quelques enjeux didactiques. Simon Modeste, Université de Montpellier, Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Résumé : En mathématiques, l?informatique permet de manipuler certains objets et contribue à la dimension expérimentale. L?informatique étudie aussi ses propres objets avec ses propres questions, parfois très proches des mathématiques. Une constante reste la nécessité de représentations finies pour les objets manipulés. On peut cependant aborder des questions liées à l?infini. Quelles sont ces questions ? Comment les mathématiques et l?informatique les abordent-elles ? Et ces questions peuvent-elles vivre en classe ? J?illustrerai ces questions à partir de quelques notions à l?interface des deux disciplines (énumération d?ensembles, algorithmes d?approximation, représentation/encodage des objets, ...). Vendredi 23 novembre 2018 14H30 à 16H00 ? Bat 10 - SC 10.01 Nécessaire infini mathématique Jean-Paul Delahaye, Professeur émérite - Université de Lille Le mathématicien contemple l'infini. Il y réfléchit attentivement, y recherche des cohérences et des contradictions. Il ne le choisit pas. Il ne décide pas. L'infini impose ses règles. C'est du moins le sentiment que donnent les dernières avancées en théorie des ensembles. Ce sont des indices pour croire que l'infini mathématique existe. Il n'est pas une fiction commode dont on poserait la définition pour mener des jeux formels. Il est là devant nous, rigide, immuable... et, grâce aux mathématiques, intelligible. L'exposé parlera des définitions de l'infini, des diverses sortes d'infinis découvertes par Cantor, de l'hypothèse du continu, de quelques axiomes délicats de la théorie des ensembles, et de leur importance en mathématiques y compris pour démontrer des résultats d'arithmétique. On évoquera l'étrange utilité des Univers de Grothendieck.