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Métriques de Kähler-Einstein et K-stabilité des variétés Fano

Depuis les travaux de Yau sur la conjecture de Calabi, l'existence de métriques de Kähler canoniques constitue un pan important de la géométrie analytique complexe. Dans les dernières années, des travaux majeurs de Chen-Donaldson-Sun, Berman, etc ont prouvé l'équivalence entre l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur une variété de Fano et une condition algébro-géométrique de (K-)stabilité (dans l'esprit de la correspondance de Kobayashi-Hitchin entre métriques d'Hermite-Einstein et fibrés stables). Il reste cependant beaucoup à comprendre autour du problème de l'existence de métriques de Kähler-Einstein. Dans l'exposé, je présenterai ce problème dans son cadre général, puis un de mes résultats : un critère de K-stabilité des variétés sphériques Fano.