Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Répétition de soutenance. Groupes de difféotopie, algèbres d?écheveaux et quantification combinatoire.

Les algèbres L(g,n,H) ont été introduites par Alekseev-Grosse-Schomerus et Buffenoir-Roche au milieu des années 1990, dans le cadre de la quantification combinatoire de l'espace de modules des G-connexions plates sur la surface S(g,n) de genre g avec n disques ouverts enlevés. L'algèbre de Hopf H, appelée algèbre de jauge, était à l'origine le groupe quantique U_q(g), avec g=Lie(G). Dans cette thèse nous appliquons les algèbres L(g,n,h) à la topologie en basses dimensions (groupe de difféotopie et algèbres d'écheveaux des surfaces), sous l'hypothèse que H est une algèbre de Hopf de dimension finie, factorisable et enrubannée mais pas nécessairement semi-simple, l'exemple phare d'une telle algèbre de Hopf étant le groupe quantique restreint associé à sl(2) (à une racine 2p-ième de l'unité). D'abord, nous construisons en utilisant L(g,n,H) une représentation projective des groupes de difféotopie de S(g,0)\D et de S(g,0) (où D est un disque ouvert). Nous donnons des formules pour les représentations d'un ensemble de twists de Dehn qui engendre le groupe de difféotopie; en particulier ces formules nous permettent de montrer que notre représentation est équivalente à celle construite par Lyubashenko-Majid et Lyubashenko via des méthodes catégoriques. Pour le tore S(1,0) avec le groupe quantique restreint associé à sl(2) comme algèbre de jauge, nous calculons explicitement la représentation de SL(2,Z) en utilisant une base convenable de l'espace de représentation et nous en déterminons la structure. Ensuite, nous introduisons une description diagrammatique de L(g,n,H) qui nous permet de définir de façon très naturelle l'application boucle de Wilson W. Cette application associe un élément de L(g,n,H) à chaque entrelac dans (S(g,n)\D) x [0,1] qui est parallélisé, orienté et colorié par des H-modules. Quand l'algèbre de jauge est le groupe quantique restreint associé à sl(2), nous utilisons W et les représentations de L(g,n,H) pour construire des représentations des algèbres d'écheveaux S_q(S(g,n)). Pour le tore S(1,0) nous étudions explicitement cette représentation.