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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Variétés de caractères relatives et algèbres d'écheveaux à états

L'objectif de l'exposé est de décrire deux types d'objets associés à une surface orientée de type fini : les variétés de caractères et les algèbres d'écheveaux, ainsi que leurs récentes généralisations pour des surfaces à bord. Étant donné un groupe algébrique affine réductif G, la G-variété de caractères est une variété affine de Poisson reliée à l'espace des modules des G-structures plates sur la surface. Étant donné un anneau commutatif unitaire et un élément q inversible, l'algèbre d'écheveaux du crochet de Kauffman associée est une algèbre, en générale non commutative, qui déforme l'algèbre des fonctions régulières de la variété de caractères SL_2. Lorsque q est une racine de l'unité d'ordre impair, l'algèbre d'écheveaux admet des représentations de dimension finie reliées aux théories quantiques de champs hyperboliques dont l'on peut tirer des invariants de noeuds et 3-variétés.

Récemment, T. Lê a développé une version relative des algèbres d'écheveaux, dites à états, associées à des surfaces à bords avec un ensemble fini non vide de points retirés de chaque composantes de bord. Ces algèbres ont un bon comportement pour l'opération de recoller deux surfaces le long d'un arc de bord. Nous allons voir qu'elles déforment l'algèbre des fonctions d'une version relative des variétés de caractères qui ont une propriété de recollement similaire et généraliserons certains résultats classiques du cas sans bord au cas avec bord.

Une partie de ce travail a été réalisée en collaboration avec A. Quesney.