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Problème de Horn pour le groupe U(p,q)

Considérons deux matrices hermitiennes A et B de même taille n. Que peut-on dire du spectre de leur somme A + B en termes des spectres de A et B ? Ce problème remonte au début du 20 ème siècle et un premier résultat est dû à Weyl en 1912. En 1962, Horn a formulé une conjecture remarquable ; elle affirme que le cône Horn(n) formé des triplets de spectres de matrices hermitiennes A, B, A + B de taille n sont les solutions d'un nombre fini d'inéquations linéaires homogènes, construites de façon récursive. Cette conjecture a été résolue à la fin des années 90 par la combinaison de travaux de Klyachko et de Knutson et Tao. Dans cet exposé nous allons considérer un problème similaire dans le cas où l'on travaille avec le groupe U(p,q) : ici nous considérons des matrices de taille p+q qui sont hermitiennes relativement à un produit hermitien de signature (p,q). Dans ce cadre on est amené à étudier un cône convexe Horn(p,q) et nous montrerons qu'il admet aussi une description récursive.