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Groupes de Galois différentiels dans ses habits catégoriques et une manière simple de les calculer.

Depuis son début, la théorie de Galois attire l'attention des géomètres. Par exemple, C. Jordan a montré que pour calculer le groupe de Galois du corps de racines d'un polynôme complexe f(x,y), sur les fonctions rationnelles, il est suffisant d'étudier les permutations obtenues par continuation analytique. Dans cet exposé, je veux parler d'une théorie galoisienne -- la théorie de Galois différentielle -- dans un contexte géométrique et catégorique.

La théorie de Galois différentielle étudie les groupes de matrices qui agissent sur "les solutions" des systèmes différentiels y ' =A (x) y: à partir d'un tel système, on arrive à un group algébrique DGal dont les propriétés se reflètent sur le système. Cette théorie possède d'autres deux relectures intéressantes; l'une via la continuation analytique (la monodromie) et l'autre, plus moderne, via les catégories tannakiennes.

Dans cet exposé, j'expliquerai quelques constructions basiques des théories de Galois différentielle et tannakienne. Je tâcherai d'introduire plus de langage géométrique --- remplaçant les systèmes différentiels par les connexions sur des variétés  --- et montrerai comment les catégories tannakiennes permettent de définir les groupes de Galois généralement.

Après avoir expliqué pourquoi, dans certains cas, la continuation analytique nous donne DGal par l'opération de clôture, j'argumenterai que la continuation reste un outil difficile à employer pour calculer. Je proposerai ainsi une interprétation différente de l'opération de clôture, où le rôle du groupe fondamental sera remplacé par celui d'une algèbre de Lie. Cette idée permettra de trouver sans beaucoup d'effort quelques groupes de Galois différentiels. Je terminerai par des applications à la théorie de Galois "inverse". (Travail en collaboration avec I. Biswas et P. H. Hai.)