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Calculs de bases dans des 2-catégories linéaires par réécriture

En théorie des représentations, de nombreuses familles de catégories linéaires sont définies par générateurs et relations diagrammatiques. L'une des questions principales dans l'étude de ces catégories est de calculer des bases linéaires des espaces de morphismes. Dans cet exposé, nous présentons une méthode issue de la théorie de la réécriture algébrique permettant d'approcher ces problèmes. Les méthodes de réécriture dans des contextes linéaires sont bien connues pour des algèbres associatives, commutatives ainsi que non-commutatives avec, par exemple, le lemme du diamant de Bergman ou la théorie des bases de Gröbner, mais sont plus difficilement applicables pour des catégories linéaires de dimension supérieure. Nous introduirons le cadre adapté à la réécriture linéaire sur des diagrammes de cordes de 2-catégories linéaires, et expliquerons comment calculer des bases linéaires à partir de deux propriétés fondamentales du calcul que sont la terminaison et la confluence. Nous illustrerons ces constructions sur une famille d'algèbres définies par Khovanov, Lauda et Rouquier apparaissant dans un processus de catégorification d'un groupe quantique associé à une algèbre de Kac-Moody symétrisable. Nous introduirons enfin des extensions de ces méthodes au cadre de la réécriture modulo, autorisant une partie des relations à être non-orientée dans les calculs.