Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Au bord des variétés asymptotiquement hyperboliques complexes.

Le bord des domaines bornés de l'espace hermitien standard a génériquement une structure géométrique appelée de Cauchy-Riemann (CR) : cette structure est un invariant géométrique du domaine. Elle peut-être retrouvée en construisant des métriques complètes sur le domaine en question, envoyant ainsi le bord à l'infini, et en étudiant la géométrie induite à l'infini. L'exemple le plus parlant est celui de l'espace hyperbolique complexe : la métrique considérée est celle de Kähler-Einstein (qui coïncide également avec la métrique de Bergmann) sur la boule unité, et un développement limité de la métrique au voisinage de l'infini fait apparaître la structure CR de la sphère à l'infini, qui n'est autre que la sphère unité de l'espace hermitien. Dans cet exposé, nous étudions en quelque sorte un problème inverse : que peut-on dire d'une métrique Kähler complète sur une variété non compacte et dont le tenseur de courbure est asymptotique à celui de l'espace hyperbolique complexe ? Sous des conditions géométriques naturelles, nous construisons un bord à l'infini qui est muni d'une structure de Cauchy-Riemann strictement pseudo-convexe, qui apparaît à nouveau naturellement dans le développement asymptotique de la métrique.