Séance Séminaire

From University Mathematics to Mathematics Education

A didactic engineering on integral to address Klein's second discontinuity

Résumé en anglais Before entering the mathematics teacher training cycle, students, future teachers of mathematics, are confronted with different theories of integration (Riemann, Lebesgue, measure theory). In doing so, they often have difficulties to perceive the links between these theories and the integral taught in high school, which illustrates the problem of Klein's second discontinuity. In this talk, we will present some elements of an engineering experiment in Montpellier which aims at reducing this discontinuity by making visible the links between the theory of measurement and the intuitive notion of area which is the basis of the integral in high school. The design of this engineering is based on the modeling of Klein's second discontinuity proposed by Winslow in the framework of the Anthropological Theory of Didactics and the description of knowledge in terms of dominant praxeological models, in the different institutions (high school and university). We also use the tools of ATD related to the paradigm of questioning the world to carry out analyses (a priori and a posteriori) of the tasks proposed to the students. This leads us to formalize the process of linking high school and university knowledge in terms of the development of new praxeologies, called Kleinian praxeologies, based on the examples present in our device. Résumé en français : Avant d'aborder le cycle de formation des enseignants de mathématiques, les étudiants, futurs enseignants de mathématiques, sont confrontés à différentes théories de l’intégration (Riemann, Lebesgue, théorie de la mesure). Ce faisant, ils éprouvent souvent des difficultés à percevoir les liens entre ces théories et l’intégrale enseignée au lycée, ce qui illustre le problème de la seconde discontinuité de Klein. Dans cet exposé, nous présenterons quelques éléments d’une ingénierie expérimentée à Montpellier qui vise à atténuer cette discontinuité en rendant visibles des liens entre la théorie de la mesure et la notion intuitive d’aire qui fonde l’intégrale au lycée. La conception de cette ingénierie s'appuie sur la modélisation de la seconde discontinuité de Klein proposée par Winslow dans le cadre de la Théorie Anthropologique du Didactique et la description des connaissances en termes de modèles praxéologiques dominants, dans les différentes institutions (lycée et université). Nous utilisons également les outils de TAD relatifs au paradigme du questionnement du monde pour effectuer des analyses (a priori et a posteriori) des tâches proposées aux étudiants. Ceci nous conduit à formaliser le processus de mise en relation des connaissances du lycée et de l'université en termes de développement de nouvelles praxéologies, appelées praxéologies de Klein, en appui sur les exemples présents dans notre dispositif.