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Désarborescence cohomologique

Pour tout anneau commutatif $K$ et tout ensemble ordonné fini $P$, il est classiquement associé une ``algèbre d'incidence'' notée $K[P]$. Il s'agit du $K$-module libre généré par les éléments de $P\times P$ qui appartiennent au graphe de la relation d'ordre : pour $x\leq y$ dans $P$, on note $(x\leq y)$ le générateur correpondant. On installe ensuite un produit $K$-bilinéaire associatif unitaire, défini sur la base, par $(x\leq y)(z\leq t)=\delta_y^z(x\leq t)$. Pour certains éléments $x\in P$, appelés ``branches'', D. Guin et moi-même montrons que la cohomologie de Hochschild de $K[P]$ coïncide avec celle de $K[P\backslash\{x\}]$. Cette désarborescence ``locale'' se poursuit volontiers et, par exemple, notre résultat confirme la trivialité de la cohomologie de $K[P]$ quand (le diagramme de Hasse de) $P$ est un arbre. Nos méthodes sont celles classiques de l'Algèbre Homologique appliquées aux algèbres "triangulaires" sauf, peut-être, notre évitement systématique de toute suite spectrale au profit de complexes cônes. Si ce dernier procédé augmente douloureusement le volume et la complexité des calculs, il semble indispensable pour notre désarborescence décidément trop locale.