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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Construction homologique des représentations quantiques non semi-simples

Soit Mod(S) le groupe modulaire d’une surface S. Une fameuse énigme non résolue entoure ces groupes: sont-ils linéaires? Cette question gagne en légitimité depuis la récente découverte de deux (?) principaux candidats, i.e. des représentations linéaires de ces groupes qui ont des chances d’être fidèles. Elles font l’objet de cet exposé. La nature homologique des représentations de Lawrence des groupes de tresses (groupes modulaires des disques à pointes) a permis à Bigelow d’utiliser l'intersection homologique tordue des espaces de configurations pour obtenir la fidélité de l’action, et par conséquent la linéarité desdits groupes de tresses. Les TQFTs sont un candidat d'une toute autre nature: elles proviennent de la théorie des représentations non semi-simple des groupes quantiques et produisent des (familles d’) invariants topologiques hautement organisés pour les objets géométriques de basse dimension, et entre autres des représentations dites quantiques de Mod(S) pour tout S. Nous avons construit des représentations homologiques de Mod(S) à la Lawrence lorsque S est une surface à bord quelconque et montré qu’elles retrouvent les représentations quantiques non semi-simples du cas sl2 (en grande partie avec M. De Renzi). Je présenterai ce résultat et nous verrons que l’on reconstruit également homologiquement la théorie des représentations du groupe quantique sous-jacente. Je dirais éventuellement un mot sur le cas des autres algèbres de Lie ou sur les espoirs homologiques pour la fidélité (travaux en cours avec S. Bigelow resp. R. Detcherry).