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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Présentation algébrique des cobordismes et invariants quantiques en dimension 3 et 4

La catégorie 2Cob des cobordismes de dimension 2 est librement engendrée par une algèbre de Frobenius commutative : le cercle. Ce résultat classifie toutes les TQFTs (théories quantiques des champs topologiques) en dimension 2. Dans cet exposé, je vais discuter quelques conséquences d’une présentation algébrique analogue en dimension 3 et 4, due à Bobtcheva et Piergallini. Dans les deux cas, les structures algébriques fondamentales sont fournies par certaines algèbres de Hopf appelées algèbres BPH. En dimension 3, je vais considérer la catégorie 3Cob des cobordismes connexes entre surfaces connexes à une composante de bord. J'expliquerai qu'une présentation algébrique conjecturée (ou plutôt annoncée sans preuve) par Habiro est en fait équivalente à celle établie par Bobtcheva et Piergallini. En dimension 4, je me concentrerai sur une catégorie notée 4HB, dont les morphismes sont des classes de 2-déformation de corps en 2-anses de dimension 4. Je montrerai que toute catégorie enrubannée unimodulaire contient une algèbre BPH, qui peut être caractérisée très explicitement. Ce résultat prouve l'existence d’une famille très large de foncteurs TQFT sur 4HB. Enfin, je vais expliquer qu'une catégorie enrubannée unimodulaire a le potentiel de détecter des phénomènes exotiques en dimension 4 seulement si elle est ni semi-simple ni factorisable. Il s’agit d’un travail en collaboration avec I. Bobtcheva, A. Beliakova et R. Piergallini.