Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Géométrie convexe et géométrie complexe

Le principe de minimisation du volume est un problème relevant de la géométrie convexe classique, qui peut s’énoncer comme suit. Pour un cône convexe polyédral de dimension maximale, l'intersection d'un hyperplan affine avec le cône dual est un polytope convexe affine. Pour tout vecteur à l'intérieur du polytope, celui qui minimise le volume de la pyramide formée par l'origine et le polytope lui-même, correspond exactement au barycentre de celui-ci. Ce principe est en fait équivalent à l’existence de solutions d’une équation de Monge-Ampère réelle qui apparaît naturellement dans des problèmes de transport optimal. Celle-ci à son tour caractérise les métriques coniques de Calabi-Yau sur des variétés complexes affines dites toriques (c’est-à-dire munies de symétries d’un tore de dimension maximale). Je vais essayer d’expliquer cette manifestation de la géométrie convexe en géométrie complexe dans le cadre des variétés toriques. Si le temps permet, je présenterai aussi l’équivalence entre le principe de minimisation du volume et une notion de K-stabilité en géométrie algébrique.