Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Complexes discrets pour les fluides incompressibles

Les complexes différentiels discrets ont récemment attiré l’attention des numériciens en raison des nombreux avantages qu’ils offrent pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles. Ils sont particulièrement intéressants pour la création de méthodes préservant la structure telle que par exemple la divergence nulle des solutions discrètes. Dans cette thèse, nous explorons les possibilités d’application de ces complexes aux fluides incompressibles. Nous nous sommes d’abord concentrés sur le complexe de De Rham avec régularité minimale. Bien que très utilisé pour traiter de l’électromagnétisme, il n’a été que très rarement considéré pour les fluides. Nous avons étudié diverses façons d’utiliser ce complexe en mécanique des fluides incompressibles. Nous construisons un schéma pour les équations de Navier-Stokes et l’analysons en démontrant des résultats de convergence, des estimations d’erreur et surtout la préservation de la structure avec une conservation exacte de certaines quantités. La régularité minimale impose cependant des restrictions, et en particulier limite les conditions au bord applicables. Afin de pallier ce problème, nous proposons une discrétisation du complexe de Stokes, autre complexe de régularité plus élevée et mieux adaptée aux équations de Stokes ou Navier-Stokes. Ce dernier complexe repose sur une méthode hybride et entièrement discrète ce qui permet, en plus de profiter des propriétés de complexe, d’utiliser n’importe quel maillage polyédrique (pas forcément conforme ni simplicial).