Séance Séminaire

Séminaire ACSIOM

Une discrétisation espace-temps d'ordre élevé pour la résolution numérique de la continuation unique de l'équation de la chaleur

Dans cet exposé, je présenterai l'analyse numérique d'un problème de continuation unique. Ce dernier consiste à trouver la solution de l'équation de la chaleur sans connaitre ni les conditions aux limites ni la donnée initiale, qui sont remplacées par la donnée bruitée de la solution dans un sous-ensemble du domaine de calcul. Ce problème, mal posé, dispose d'estimées de stabilité conditionnelle que je rappellerai. La méthode numérique employée est une discrétisation d'ordre élevé en temps et en espace et utilise des inconnues polynomiales sur les cellules et les faces du maillage. Les équations sont obtenues en minimisant un Lagrangien discret. De plus, cette méthode contient des termes de stabilisation de type Tikhonov pour régulariser le problème discret. L'analyse numérique de ce schéma permet de prouver une convergence optimale de la solution en norme faible. On peut ensuite utiliser l'estimée de stabilité conditionnelle du problème continu pour étendre cette convergence à une norme plus forte, mais en perdant l'ordre optimal. Des résultats de simulation numérique en dimensions d'espace un et deux seront présentés pour différentes géométries. Ce travail a été mené en collaboration avec Erik Burman (University College London) et Alexandre Ern (Ecole des Ponts et INRIA).