Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Immeubles, sous-groupes normaux et mesures homogènes

Les groupes algébriques sur des corps locaux, comme PGL_n(Q_p), agissent sur des complexes simpliciaux à courbure négative ou nulle, que l'on appelle des immeubles. Cependant, il existe des immeubles de géométrie similaire dont le groupe d'automorphismes n'est pas algébrique, mais est tout de même cocompact. On peut ainsi produire des groupes dénombrables, analogues des réseaux dans PGL_n(Q_p). Ces groupes conservent la plupart des propriétés de rigidité (extrêmement fortes) des réseaux dans les groupes de Lie de rang supérieur, et même un peu plus (par exemple, ils n'admettent aucune représentation linéaire infinie). Le résultat que je vais présenter est un analogue du théorème du sous-groupe normal de Margulis : un sous-groupe normal d'un tel réseau est soit trivial soit d'indice fini. La preuve de Margulis, comme la nôtre, utilise des outils de théorie ergodique et de dynamique homogène, et j'essaierai d'expliquer comment construire des analogues des mesures de Haar dans ce contexte. C'est un travail en commun avec U. Bader et A. Furman.