Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Dimension conforme des applications dilatantes et propriété de Liouville des groupes

Travail en commun avec V. Nekrashevych et T. Zheng. La dimension conforme d’un espace métrique a été introduite par P. Pansu, motivé par l’étude des quasi-isométries entre espaces espaces hyperboliques (comme invariant de leur bord). Elle est plus généralement adaptée à l’étude des espaces métriques auto-similaires, par exemple les ensembles de Julia des fonctions rationnelles complexes hyperboliques, et plus généralement tout espace (X, p) muni d’une auto-revêtement (ramifié) dilatant. Un tel système dynamique (X, p) peut être codé par un groupe, appelé son groupe de monodromie itérée, qui agit sur un arbre enraciné. Ce groupe appartient à la classe des groupes dites auto-similaires contractant. Au dela de ce lien avec la dynamique, les groupes auto-similaires contractants ont été par ailleurs étudiés en tant que source d’exemples de groupes moyennables non élémentaires (le groupe de Grigorchuk est un exemple bien connu dans cette classe). Il est une question ouverte si tout groupe auto-similaire contractant est moyennable. Nous montrons que si G est un groupe de monodromie itérée, et si le système dynamique associé (X, p) est tel que la dimension conforme (Ahlfors-régulière) de X est <2, alors toute marche aléatoire sur G symétrique et avec deuxième moment fini a bord de Poisson trivial (la propriété de Liouville); cela implique en particulier que G est moyennable. Ce résultat s’applique à tous les exemples précédemment connus de groupes auto-similaires contractants moyennables, et à plusieurs autres exemples. En particulier, si f est une fonction rationnelle post-critiquement fini dont l’ensemble de Julia n’est pas toute la sphère, alors le groupe de monodromie de f est moyennable.