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Chiralisation de la réduction par étapes: des tranches de Slodowy vers les W-algèbres affines

L'espace dual d'une algèbre de Lie simple est un exemple bien connu de variété de Poisson. Cette variété admet une "chiralisation" par une algèbre vertex de Kac-Moody associée. Étant donné un élément nilpotent dans cette algèbre de Lie, on peut construire, par réduction hamiltonienne, une nouvelle variété de Poisson : la tranche de Slodowy associée à cet élément nilpotent. Cette variété admet pour chiralisation une W-algèbre affine, construite par réduction BRST de l'algèbre de Kac-Moody, qui est un analogue cohomologique de la réduction hamiltonienne. Dans cet exposé, je présenterai un travail réalisé avec Naoki Genra sur le problème de réduction par étapes pour les tranches de Slodowy (arXiv:2212.06022). Si l'on se donne deux éléments nilpotents dans l'algèbre de Lie, sous certaines conditions, on peut reconstruire une des deux tranches de Slodowy comme réduction hamiltonienne de l'autre tranche. Je parlerai ensuite de nos travaux plus récents, et en cours, pour démontrer que la réduction par étapes a lieu aussi pour les W-algèbres affines associées. S'il reste du temps, je parlerai de l'application de la réduction par étapes à la construction de plongements entre W-algèbres affines.