Séance Séminaire

Soutenances de thèses

Métriques de Calabi-Yau et valuations K-stables sur les variétés sphériques affines

La présente thèse constitue une première étape vers une classification en termes de valuations des métriques de Calabi-Yau complètes à croissance de volume maximale sur les espaces symétriques complexes, ou plus généralement les variétés sphériques affines. Dans la première partie, nous introduisons les cônes sphériques, dont les métriques coniques de Calabi-Yau éventuelles sont des modèles asymptotiques de variétés sphériques affines de Calabi-Yau. Nous démontrons que les cônes horosphériques, contenant strictement les cônes toriques et cônes sur les grassmanniens, sont toujours de Calabi-Yau via l'étude d'une équation de Monge-Ampère réelle. Plus généralement, nous établissons l'équivalence entre la K-stabilité des cônes sphériques, exprimée par une condition combinatoire explicite, et l'existence de métriques coniques de Calabi-Yau.
Dans la deuxième partie, nous procédons à étudier les valuations induites par ces métriques de Calabi-Yau sur les variétés sphériques affines lisses, dites valuations K-stables. Comme application, nous donnons une liste explicite des valuations K-stables sur les espaces symétriques de rang deux, chacune desquelles induit une dégénérescence de l'espace vers le candidat du cône asymptotique. Pour une valuation à l'intérieur du cône des valuations, qui dégénère l'espace vers un cône horosphérique, nous montrons qu'il est toujours possible de construire une métrique de Calabi-Yau asymptotique à la métrique conique de Calabi-Yau sur ce cône.