Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Plongements conformes de surfaces de Riemann dans des variétés lorentziennes

Il est connu depuis l'époque de Gauss que les structures conformes sur une surface sont en correspondance avec les structures complexes (structures de surface de Riemann). Il est donc naturel de se demander si toute surface de Riemann possède un modèle conforme plongé dans une variété riemannienne donnée M. Ce problème a été résolu positivement par Garsia, Ruedy et Ko. Dans cet exposé, on étendra ce résultat au cas où M est pseudo-riemannienne. Plus précisément, on montrera que pour toute structure conforme sur une surface orientable fermée Σ, tout plongement de type espace de Σ dans M peut être approximé par un plongement conforme lisse. De plus, on démontrera que si M est un quotient du cône solide de temps de dimension 2+1 par un réseau cocompact de $SO^{\circ}(2,1)$, alors les plongements conformes ne peuvent pas toujours être convexes.