Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Déformations quantiques de rationnels et au-delà

Les q-analogues de nombres sont issus d’une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle « q », en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu’on retrouve le nombre initial en faisant tendre q vers 1. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l’objet déformé. En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des q-entiers. Dans cet exposé, on verra comment définir ces q-rationnels à partir d'une déformation de l'action du groupe modulaire sur le graphe de Farey. On fera le lien avec une représentation du groupe de tresses à trois brins, la représentation de Burau, et on verra comment ce point de vue permet de généraliser la déformation en dimension supérieure.