Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Le problème de Tarski pour les groupes hyperboliques avec torsion

Deux groupes sont dits élémentairement équivalents s'ils satisfont les mêmes énoncés du premier ordre (c'est-à-dire les mêmes énoncés mathématiques dont les variables désignent uniquement des éléments d'un groupe). Dans les années 1940, Tarski a posé la question suivante : les groupes libres non abéliens sont-ils élémentairement équivalents ? Il y a quelques années, Sela et Kharlampovich-Myasnikov ont apporté une réponse positive à cette question. Plus généralement, Sela a obtenu une classification complète des groupes de type fini qui sont élémentairement équivalents à un groupe hyperbolique sans torsion donné. Cependant, une classification analogue demeure inconnue pour les groupes hyperboliques avec torsion. Je présenterai quelques résultats partiels en direction d'une telle classification, et expliquerai certaines des nouvelles difficultés causées par les éléments non triviaux d'ordre fini, en particulier le fait que les morphismes d'un groupe de surface vers un groupe hyperbolique avec torsion peuvent être, en un certain sens, pathologiques.