Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Domaines propres divisibles dans les variétés de drapeaux

Un domaine propre divisible est un ouvert connexe de l'espace projectif, borné dans une carte affine, qui admet une action cocompacte d'un sous-groupe discret du groupe projectif linéaire. L'exemple le plus connu est l'espace hyperbolique plongé dans l'espace projectif via le modèle de Klein, mais il existe également des exemples qui ne sont pas des espaces symétriques Riemanniens. L'étude de ces objets s'appelle la théorie des convexes divisibles, et est développée depuis les années 60. Une généralisation au cas où l'espace ambiant n'est plus l'espace projectif mais une variété de drapeaux quelconque G/P a été initiée par A. Zimmer. Une question de Limbeek-Zimmer est alors : existe-t-il des exemples d'ensembles convexes divisibles dans G/P qui ne sont pas symétriques ? Dans un certain nombre de cas, il a été prouvé que ce n'était pas le cas; on dit alors qu'il y a rigidité. Nous exposerons des résultats allant dans le sens de cette rigidité, et expliquerons en quoi celle-ci est un phénomène de rang supérieur.