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Sur des invariants topologiques qui comptent des graphes dans des variétés

Je vais décrire des manières de compter des graphes dans des variétés, en suivant des idées de Gauss, Witten, Kontsevich, Kuperberg et Thurston et d'autres pour produire des invariants topologiques exploitables. Je commencerai par présenter des exemples simples de tels invariants avant d'introduire une classe caractéristique dûe à Kontsevich et Watanabe qui compte des configurations du graphe complet à 4 sommets dans des fibrés lisses en boules de dimension 4 trivialisés le long des bords des fibres. Cette classe caractéristique a permis à Watanabe d'exhiber en 2018 un fibré lisse E_W non trivial en boules D^4 de dimension 4 au-dessus de la sphère S^2, dont le bord est le fibré trivial S^2×∂D^4. L'existence d'un tel fibré implique que le π_1 du groupe de difféomorphismes préservant l'orientation de la sphère de dimension 4 n'est pas isomorphe au π_1 du groupe orthogonal SO(5), contrairement à une prédiction souvent appelée "la conjecture de Smale en dimension 4". Je terminerai l'exposé en esquissant la démonstration de Watanabe de la réfutation de cette conjecture.