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Relations de double mélange entre nombres zéta multiples et associateurs

Les nombres zéta multiples (MZVs) sont les réels définis comme les sommes itérées convergentes, sur Z_{>0}, de suites de fonctions « puissances négatives » Z_{>0} → C, k ↦ k^{-n} avec n entier >0. Ce sont aussi les intégrales itérées convergentes, sur l'intervalle ]0,1[, de suites de formes différentielles de la forme dln(t) ou dln(t-1) (Kontsevich). Chacune de ces incarnations conduit à établir un système de relations « de mélange » satisfait par les MZVs. Par ailleurs, la théorie des associateurs (Drinfeld) conduit à un autre système de relations satisfait par ces nombres. Furusho a montré que le système « double mélange » est conséquence du système « associateurs » (2011), ceci par l'utilisation de formes linéaires sur l'algèbre enveloppante du gradué associé au groupe des tresses à 5 brins sur la sphère, liées aux fonctions polylogarithmes. On exposera une démonstration alternative obtenue avec Furusho en 2023, reposant sur l'interprétation d'un acteur central de l'approche « double mélange », le « coproduit harmonique », en termes de tresses infinitésimales (idées de Deligne et Terasoma, 2005), ainsi que sur l'interprétation des associateurs comme isomorphismes entre les « tours jumelles » des tresses et des tresses infinitésimales (Bar Natan). On tentera aussi d'exposer les généralisations obtenues par et avec Yaddaden dans le contexte des MZVs N-cyclotomiques (N entier).