Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Groupes algébriques au-dessus des groupes libres

En géométrie algébrique élémentaire, étant donné un corps K, on peut définir un groupe algébrique comme une variété de K^n (c’est à dire l’ensemble des solutions à un système d’équations polynomiales) munie d’une loi de groupe qui s’exprime par des polynômes en les coordonnées. On peut se demander ce qui se passe si l’on remplace le corps K par un groupe G: l’analogue d’un polynôme est un mot w(x_1, …, x_n) dans lequel peuvent figurer des constantes provenant de G. Une variété de G^n est l’ensemble des solutions à un système d’équations de la forme w_i(x_1, …, x_n)=1, et un groupe algébrique au-dessus de G une variété de G^n munie d’une loi qui peut être exprimée par des mots en les coordonnées. Sur les groupes libres (non-abéliens), les variétés sont bien comprises depuis les travaux de Makanin-Razborov et plus tard Sela. Dans un travail en commun avec Vincent Guirardel, nous montrons qu’il y a très peu de groupes algébriques irréductibles au-dessus du groupe libre, et nous décrivons toutes les structures possibles.