Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Groupe combinatoire d'une marche dans un orthant multidimensionnel

On considère une marche dans $\mathbb{N}^d$ avec un ensemble $S \subset \{-1,0,1\}^d$ de pas fixés. Depuis 25 ans environ, de nombreux travaux concernent l'étude du nombre de chemins $e_n$ de longueur $n$ allant d'un point à un autre. Bousquet-Mélou et Mischna ont introduit un groupe de transformations appelé {\it groupe combinatoire de la marche} et généralement considéré comme un groupe d'automorphismes de courbes elliptiques. Lorsqu'il est fini, il permet d'obtenir de nombreuses informations sur $e_n$. S'il est assez bien compris lorsque $d=2$, ce n'est plus le cas en dimension supérieure et les modèles $S$ sans poids donnant lieu a un groupe $G$ fini sont classifiés par ordinateur (11 millions de cas). Nous avons montré que $G$, lorsqu'il est fini, est isomorphe à un groupe de réflexions (et donc un groupe de Coxeter). Cela nous permet d'obtenir de nouveaux outils théoriques puissants pour déterminer si $G$ c'est le cas ou non, et ce, même dans le cas à poids. Cet exposé est issu de plusieurs travaux en collaboration avec Andrew Elvey Price, Léa Gohier et Kilian Raschel.