Séance Séminaire

Séminaire Gaston Darboux

Une conjecture de normalité en base rationnelle

Le système de numération en base rationnelle p/q a été introduit en 2008 par Akiyama, Frougny et Sakarovitch. Pour deux entiers p>q copremiers, tout entier n possède une unique expansion en base p/q, sous la forme d’un mot fini sur l’alphabet {0,1,...,p−1}. Le langage de ces expansions présente une structure d'arbre, qui conduit naturellement à la définition de deux familles de mots infinis : les mots minimaux et les mots maximaux. Nous conjecturons que tous ces mots sont normaux. Après une première partie introductive consacrée aux bases rationnelles, je présenterai les résultats d’expériences numériques qui soutiennent notre conjecture de normalité. Enfin, dans une troisième partie, je montrerai que cette conjecture est reliée à plusieurs conjectures difficiles et bien connues en théorie des nombres. Cette présentation s'appuie sur un travail fait en collaboration avec Mélodie Andrieu et Shalom Eliahou.