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Les algèbres de Hopf combinatoires : bigèbres sur les matroïdes

Une algèbre de Hopf est une structure d'algèbre et de cogèbre sur un même espace vectoriel. Lorsque cet espace a une base indexée par des objets combinatoires, l'algèbre est dite combinatoire. Cette notion apparaît dans des domaines variés des mathématiques allant de la topologie algébrique, à la théorie de la renormalisation en théorie des champs quantique, en probabilité libres... Dans cet exposé, nous adopterons un point de vue combinatoire sur cette structure, nous rappellerons des propriétés classiques des algèbres de Hopf ainsi que des exemples plus ou moins usuels. Ensuite, nous nous concentrerons sur la structure dite de bigèbre double ayant pour propriété de mettre en valeur un morphisme de cette bigèbre vers les polynômes que l'on peut interpréter comme un polynôme chromatique. Puis, après avoir donné l'exemple de la bigèbre double des graphes, nous donnerons deux structures de bigèbres prometteuses sur une famille d'objets combinatoires et géométriques, les matroïdes.