Séance Séminaire

Séminaire des Doctorant·e·s

Détection de structures d'espaces de lacets en théorie de l'homotopie

Soit X un espace topologique et x∈X un point (X peut être une sphère, une tore, une variété différentielle...). Un lacet $\gamma$ basé en x est la donnée d'une fonction continue \gamma : [0,1] \rightarrow X telle que \gamma(0)=\gamma(1)=x. L'ensemble des lacets basés en x à déformation près est noté \pi_1(X,x) et a naturellement une structure de groupe, c'est à dire qu'il est possible de composer les lacets (par concaténation) et les inverser (par reparamétrisation). Cet ensemble est appelé le groupe fondamental de X et est un invariant très important des espaces topologiques. Il est aussi possible de définir des groupes supérieurs \pi_n(X,x), appelé n-ème groupes fondamentaux. Dans cet exposé, je définirai ces objets, donnerai des exemples et montrerai que lorsque n>1, ces groupes sont automatiquement commutatifs : composer un lacet après un autre est équivalent à composer le deuxième puis le premier. En fait, dans la preuve de la commutativité se cache des structures plus complexes appelées \mathbb {E}_n-groupes. Ces objets sont les premiers exemples d'algèbres supérieures en topologique algébrique, en fait il est possible de classifier complètement ces objets. En effet, un important théorème de May appelé "principe de reconnaissance" stipule que tous les \mathbb {E}_n-groupes sont des itérés n fois d'espaces de lacets.