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Modules de fibrés réels

Les espaces de modules de fibrés vectoriels sur les courbes sont des objets classiques en géométrie algébrique. Leur étude a débuté avec les travaux de Mumford, Narasimhan, Seshadri et Newstead dans les années 1960. Elle s'est poursuivie dans les années 1970 avec Harder et Narasimhan et la construction de la filtration du même nom. C'est cette filtration qui a permis à Desale et Ramanan d'une part, et Atiyah et Bott d'autre part, de calculer le polynôme de Poincaré des espaces de modules de fibrés de rang et degré premiers entre eux, en utilisant pour les premiers la géométrie arithmétique sur les corps finis, et pour les seconds la théorie de jauge et la géométrie complexe. Lorsque la courbe de base est définie sur le corps des réels, on peut s'intéresser à la classification des fibrés vectoriels réels et à la topologie des espaces de modules associés. Des invariants topologiques supplémentaires sont nécessaires pour classifier les composantes connexes de ces espaces et seuls les nombres de Betti à coefficients modulo 2 sont actuellement connus. Dans un travail en cours avec Melissa Liu (Columbia), nous réexaminons cette construction afin de donner des générateurs de l'algèbre de cohomologie modulo 2 des espaces de modules de fibrés réels et je présenterai dans l'exposé les grandes lignes de cette construction. J'évoquerai également un travail récent avec Tommaso Scognamiglio (Bologna), dans lequel nous généralisons l'étude des composantes connexes des espaces de modules de fibrés vectoriels réels au cas des fibrés de Higgs.