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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Actions rationnelles infinitésimales sur les courbes

Si G est un k-schéma en groupes fini avec une action rationnelle sur une k-variété, si l'action est génériquement libre alors la dimension de Lie(G) est bornée supérieurement par la dimension de la variété. Cette inégalité s'avère également être une condition suffisante pour l'existence de telles actions, lorsque k est un corps parfait de caractéristique positive et que G est infinitésimal commutatif trigonalisable. Les schémas en groupes infinitésimaux sont non réduits et n'apparaissent qu'en caractéristique positive. Dans la première partie de cet exposé, nous présenterons ces objets et exposerons une méthode permettant d'étudier leurs actions. Dans la deuxième partie, nous nous concentrerons sur le cas où X est une courbe. Nous donnerons une description explicite de tous les schémas en groupes infinitésimaux commutatifs unipotents G ayant une action rationnelle génériquement libre sur X, lorsque k est un corps algébriquement clos. Nous appliquerons ensuite concrètement ce qui aura été expliqué dans la première partie, concernant une méthode d'étude de ce type d'actions, en montrant comment elles peuvent être construites, avec un accent particulier sur le cas où G est la p-torsion d'une courbe elliptique supersingulière.