Séance Séminaire

Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Extensions de Galois-Azumaya et groupe de Brauer-Galois

Le but de cet exposé est d'introduire, pour tout anneau commutatif $R$ fixé, un sous-groupe $Br_{Gal}(R)$, dit de Brauer-Galois, du groupe de Brauer $Br(R)$ de $R$. Nous commençons par énoncer quelques résultats sur les extensions galoisiennes d'anneaux non commutatifs. Nous considérons alors les extensions dites de Galois-Azumaya : ce sont les extensions galoisiennes d'anneaux $S/R$, avec $R$ commutatif, telles que $S$ est une $R$-algèbre d'Azumaya. Les algèbres de quaternions et les "n th power norm residue algebras" --- une généralisation des algèbres de quaternions provenant de la Théorie du Corps de Classe --- constituent des exemples d'extensions de Galois-Azumaya. Nous montrons ensuite la stabilité du produit tensoriel pour les extensions galoisiennes non commutatives et centrales au dessus d'un anneau commutatif R fixé. Cette propriété nous permet de définir $Br_{Gal(R)}$ : ses éléments sont les classes des extensions d'Azumaya sur $R$ qui sont semblables dans $Br(R)$ à des extensions galoisiennes. Lorsque l'anneau $R$ est un corps possédant de bonnes propriétés de type arithmétique, nous utilisons des résultats de Merkurjev et Suslin pour prouver que $Br_{Gal}(R)$ est égal au groupe de Brauer tout entier. Le point essentiel consiste à montrer que les "n th power norm residue algebras" engendrent la n-torsion du groupe de Brauer.