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Fondements d'algèbre quadratique

L'algèbre classique : anneaux, modules, tout type d'algebre ... est essentiellement fondée sur deux principes : 1) les groupes additifs sous-jacents sont abéliens et 2) les lois multiplicatives sont bilinéaires par rapport à l'addition. Or c'est en théorie de l'homotopie instable qu'émergent naturellement des structures algébriques qui dérogent a ces deux principes, et dont l'étude pourrait être qualifiée d'ébauche d'une "algèbre non linéaire". Par exemple, dans le cas quadratique, le seul développé pour l'instant, les groupes additifs sont nilpotents de classe 2 et l'une des règles de distribution est quadratique. Il s'avère que les groupes et les algèbres de tout type qui sont nilpotents de classe 2, mais également des espaces métastables en théorie de l'homotopie, s'interprêtent comme modules sur des anneaux non linéaires (dits "carré" dans le cas quadratique). Ce point de vue fournit non seulement des modèles algébriques de tels espaces mais permet aussi de comparer deux théories algébriques différentes, en comparant juste les anneaux carrés correspondants : ainsi, l'équivalence entre groupes et algèbres de Lie parait comme conséquence d'une équivalence canonique de leurs anneaux carrés sous-jacents ; curieusement, tout le formalisme exponentiel classique, dû au point de vue local (comparaison objet par objet), disparait dans cette nouvelle approche globale. A part une généralisation non linéaire des opérades, il y a d'autres perspectives intéressantes : développer une algèbre homologique non linéaire qui, d'après Pirashvili, laisse espérer des applications intéressantes en K-théorie algébrique.