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Séminaire Algèbre Géométrie Algébrique Topologie Algébrique

Dualité étrange et cohomologie du schéma de Hilbert ponctuel d'une surface.

Soit $X$ une surface quasi-projective lisse et $L$ un fibr\'e en droite sur $X$. On d\'esigne avec $X^{[n]}$ le sch\'ema de Hilbert ponctuel sur $X$ et $L^{[n]}$ le fibr\'e tautologique sur $X^{[n]}$, naturellement associ\'e au fibr\'e en droite $L$ sur $X$. On calcule l'image $\Phi(L^{[n]})$ de $L^{[n]}$ par la transform\'ee de Bridgeland-King-Reid: $ \Phi: {\bf D}^b(X^{[n]}) \longrightarrow {\bf D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$ en termes d'un complexe $\mathcal{C}^{\bullet}_L$ de faisceaux coh\'erents $\mathfrak{S}_n$-\'equivariants sur $X^n$. De plus, en utilisant r\'esultats r\'ecents de Haiman sur les multigraphes, on exprime l'image $\Phi(L^{[n]} \otimes \dots \otimes L^{[n]})$ du produit tensoriel $k$-i\`eme des fibr\'es tautologiques par la transform\'ee $\Phi$ comme terme $E^{0,0}_{\infty}$ de la suite spectrale hyperd\'eriv\'ee associ\'ee au produit tensoriel d\'eriv\'ee $\mathcal{C}^{\bullet}_L \otimes ^L \dots \otimes^L \mathcal{C}^{\bullet}_L$. L'\'etude des $\mathfrak{S}_n$-invariants et de cette suite spectrale permet de calculer l'image directe d\'eriv\'ee par le morphisme de Hilbert-Chow du produit tensoriel double $L^{[n]} \otimes L^{[n]}$ et de la puissance ext\'erieure quelconque $\Lambda^k L^{[n]}$ du fibr\'e tautologique; ceci fournit des formules de type Danila-Brion en ces deux cas, \`a l'aide desquelles on peut obtenir la cohomologie du sch\'ema de Hilbert \`a valeurs dans $L^{[n]} \otimes L^{[n]}$ et $\Lambda^k L^{[n]}$. Ces calculs de cohomologie interviennent dans la conjecture de la dualit\'e \'etrange de Le Potier sur le plan projectif. En deux exemples importants, la conjecture est une cons\'equence de l'annullation de la cohomologie du sch\'ema de Hilbert \`a valeurs dans la puissance sym\'etriques ou ext\'erieure des fibr\'es tautologiques associ\'es \`a un fibr\'e en droite $L$ sur $\mathbb{P}_2$ tel que $L \otimes \omega^{-1}_{\mathbb{P}_2}= L(3)$ soit ample.